آشنايي با ماتريسها

مقدمه: در تاريع آمده است كه اولين بار يك رياضيدان انگليسي تبار به نام كيلي ماتريس را در رياضيات وارد كرد. با توجه به آنكه در آن زمان رياضيدانان اغلب به دنبال مسائل كاربردي بودند، كسي توجهي به آن نكرد. اما بعدها رياضيدانان دنباله ي كار را گرفتند تا به امروز رسيد كه بدون اغراق مي توان گفت در هر علمي به گونه اي با ماتريس ها سروكار دارند. يكي از نقش هاي اصلي ماتريس ها آن است كه آنها ابزار اساسي محاسبات عملي رياضيات امروز هستند، درست همان نقشي كه سابقاً اعداد بر عهده داشتند. از اين نظر مي توان گفت نقش امروز ماتريس ها همانند نقش ديروز اعداد است. البته، ماتريس ها به معنايي اعداد و بردارها را در بر دارند، بنابراين مي توان آنها را تعميمي از اعداد و بردارها در نظر گرفت. در رياضيات كاربردي ماتريس ها از ابزار روز مره هستند، زيرا ماتريس ها با حل دستگاه معادلات خطي ارتباط تنگاتنگي دارند و براي حل رياضي مسائل عملي، مناسبترين تكنيك، فرمول بندي مسئله و يا تقريب زدن جوابهاي مسئله با دستگاه معادلات خطي است كه در نتيجه ماتريس ها وارد كار مي شوند. اما، مشكلي اصلي در رياضيات كابردي اين است كه ماتريس هاي ايجاد شده، بسيار بزرگ هستند و مسئله اصلي در آنجا كار كردن با ماتريس هاي بزرگ است. از جنبه نظري، فيزيك امروزي كه فيزيك كوانتوم است، بدون ماتريس ها نمي توانست به وجود آيد. هايزنبرگ – اولين كسي كه در فيزيك مفاهيم ماتريس ها را به كار برد- اعلام كرد «تنها ابزار رياضي كه من در مكانيك كوانتوم به آن احتياج دارم ماتريس است.» بسياري از جبرها مانند جبر اعداد مختلط و جبر بردارها را با ماتريس ها بسيار ساده مي توان بيان كرد. بنابراين با مطالعه ماتريسها، در واقع يكي از مفيدترين و در عين حال جالبترين مباحث رياضي مورد بررسي قرار مي گيرد.

تعريف ماتريس: اگر بخواهيم مانند كيلي، ماتريس را تعريف كنيم، بايد گفت هر جدول مستطيلي كه داراي تعداد سطر و ستون است و در هر خانه آن يك عدد وجود دارد يك ماتريس است. به عبارت ديگر هر آرايشي از اعداد مانند مثالهاي زير را ماتريس مي گويند.

اگر ماتـريس      را A بناميـم، در اين صورت ماتـريس ] 15و10 و 1-[ را سطـر اول و ] 19و7 و5[ را سطر دوم و ،     ، را به ترتيب ستون اول، ستون دوم، ستون سوم A گويند. ماتريس A را كه داراي دو سطر و ستون است يك ماتريس دو در سه (2و3) مي گويند. اصطلاحاً مي گوييم A از مرتبه 2 در 3 است. (نوشته مي شود 3×2). بنابراين ماتريس ] 7و5 و12[B= يك ماتريس 4×1 و ماتريس C يك ماتريس 3×3 است.

به اعداد يا اشياء واقع در جدول ماتريس درايه هاي آن ماتريس مي گويند. درايه هاي هر ماتريس در جا ومكان مشخصي قرار دارند. مثلاً در ماتريس         درايه 3 در سطر اول و ستون اول است. همچنين درايه سطر دوم، ستون سوم عدد 6 است. به طور كلي اگر درايه هاي سطر I ام ستون jام را با a_ij نشان دهيم؛ داريم

… و 5=₁₂a   2=₂₂a           3=₁₁a

به طور كلي يك ماتريس دلخواه 3×2 را بصورت زير نمايش مي دهيم:

اغلب براي سهولت، به جاي نمايش ماتريس به صورت فوق، آن را با نماد 3*2[a_ij]نشان مي دهند كه در آن a_ij را درايه يا عنصر عمومي ماتريس 3*2[a_ij] گويند. به طور كلي براي ساختن انواعي از ماتريس هاي ديگر مي توانيم به جاي آن كه درايه هاي ماتريس را از اعداد حقيقي انتخاب كنيم، درايه ها را از اعداد مختلط عناصر يك ميدان، توابع و ياحتي ماتريس ها انتخاب كنيم.

در حالت كلي يك ماتريس m*n بصورت A=[a_ij]_m*n عبارت است از:

 

ماتريس هاي مربع: اگر در يك ماتريس تعداد سطرها و ستون ها مساوي باشد، آن را ماتريس مربع گويند. در اين حالت اگر يك ماتريس مانند A داراي مرتبه ي n*n باشد، گوييم A يك ماتريس مربع مرتبه n است. مجموعه ماتريس هاي مربع مرتبه ي n را با       يا نشان مي دهند.

درايه هاي ₁₁a و ₂₂a و… و a_nx يك ماتريس مربع مرتبه n باشد، مجموع درايه هاي قطر اصلي A را اثر ماتريس A مي نامند و با نماد tr(A) نشان مي دهند. بنابراين:

در واقع اثر ماتريس، تابعي از مجموعه ماتريسهاي مربع در مجموعه اعداد حقيقي است، يعني

مثال: اگر                درايه هاي قطر اصلي A عبارتند از 4- و 6- بنابراين

2=6+4-tr(A)

ماتريس سطري: ماتريس هايي را كه فقط يك سطر دارند ماتريس سطري يا بردار سطري مي نامند. مثلاً ماتريس ي ماتريس سطري *n1 است.

ماتريس ستوني: ماتريسي است كه فقط داراي يك ستون باشد. هر ماتريس ستوني را بردار ستوني نيز مي گويند. مثلاً ماتريس زير يك ماتريس ستوني 1×m است.

ماتريس صفر: ماتريسي است كه همه درايه هايش صفر باشد. بنابراين ماتريس   ماتريس صفر است. هرگاه:

ماتريس صفر از مرتبه m*n را با نماد Q_m*n نشان مي دهند.

مثال:

اگر مرتبه ماتريس صفر، داده شده باشد و يا از طريق متن، مرتبه آن معلوم باشد، در اينصورت براي سهولت ماتريس صفر را با و يا حتي با O نشان مي دهند.

تساوي ماتريس ها: هرگاه در رياضيات اشيا جديدي معرفي شوند، بايد مشخص شوند كه چه وقت دوتاي آنها با هم مساويند. مثلاً در مجموعه اعداد گويا دو عدد دو سوم و چهار ششم را، عليرغم اينكه يك شكل نيستند، مساوي مي نامند. در مورد اعدادگ ويا، دو عدد                 را مساوي مي گويند. هر گاه ad=bc تساوي ماتريسها نيز به صورت زير تعريف مي شود.

تعريف: دو ماتريس و        مساويند هرگاه هم مرتبه باشند و درايه هاي نظير در دو ماتريس (يعني درايه هاي هم موضع) مساوي باشند. به عبارت ديگر، دو ماتريس    و        مساويند هر گاه داشته باشيم:

مثال:            و        تساوي A و B به اين معناست كه

جمع ماتريس ها: مجموع دو ماتريس      و        ماتريسي است كه با نماد A+B نشان مي دهيم و به صورت زير تعريفق مي شود.

توجه كنيد كه براي جمع دو ماتريس مي بايست دو ماتريس هم مرتبه باشند. بنا به تعريف اگر A+B+C=[C_ij] در اينصورت

براي اين كه تعريف فوق روشن تر شود، شكل گسترده آن را در حالت ماتريس هاي 2×2 در زير مي آوريم

تذكر: با توجه به تعريف، جمع دو ماتريس A+B وقتي تعريف شده كه A و B هم مرتبه باشند. در اين صورت A و B را ماتريس هاي قابل جمع مي گويند.

تعبير عمل جمع دو ماتريس به مثابه يك ماشين: عمل جمع را مي توان به منزله ماشيني تصور كرد كه داراي دو ورودي و يك خروجي است (مطابق شكل)، به طوري كه اگر دوماتريس مثلا2×2 به آن بدهيم از خروجي آن يك ماتريس 2×2 بيرون مي ايد.

قرينه يك ماتريس: اگر A يك ماتريس m*n باشد، قرينه A ماتريسي است از همان مرتبه كه با نماد –A نشان مي دهند و اگر   در اين صورت بنا به تعريف

مثال: قرينه ماتريس عبارت است از        و ملاحظه مي شود كه

خواص جمع ماتريس ها

الف) جمع ماتريسها خاصيت شركت پذيري دراد

اثبات: فرض كنيد     و        و        سه ماتريس هم مرتبه دلخواه باشند، نشان مي دهيم

(A+B)+C=A+(B+C)

قبل از اثبات لازم است معني عبارات (A+B)+C و A+(B+C) را بدانيم. در اين مورد از تعبير عمل جمع به مثابه عمل يك ماشين كمك مي گيريم. از آنجا كه ماشين جمع دو ورودي دارد نمي توان يكباره سه ماتريس را با هم جمع كرد، از اين رو براي جمع سه   ماتريس A و B و C مي توان ابتدا A و B را به ماشين داده و A+B را به دست آورد. سپس A+B و C را به ماشين مي دهيم تا (A+B)+Cبه دست آيد.

عبارت A+(B+C) به اين معناست كه نخست B و C را وارد ماشين كرده ايم و B+C را به دست آورده ايم و سپس (B+C)+A را بيرون مي دهد.

حال مي خواهيم نشان دهيم كه در هر صورت ماتريس هاي بدست آمده مساويند براي اين كار قرار مي دهيم

درايه سطر I ام ماتريس =D+C درايه سطر I ام ستون j ام ماتريس (A+B)+C

ب) ماتريس صفر عضو بي اثر مجموعه ماتريس ها نسبت به عمل جمع است.

اثبات: فرض كنيد     يك ماتريس دلخواه باشد، نشان مي دهيم.

كه در آن ماتريس صفر هم مرتبه با A است.

اثبات مشابه اثبات فوق است.

ج) هر ماتريس نسبت به عمل جمع داراي متقابل است.

ديديم كه قريبنه هر ماتريس A=[a_ij]، ماتريسي هم مرتبه با آن به صورت –A[-a_ij] است. در واقع –A متقابل A نسبت به عمل جمع است، زيرا قبلاً نشان داديم

كه در آن ماتريس صفر هم مرتبه با A است.

د) جمع ماتريس ها داراي خاصيت جابه جايي است.

يعني اگر A و B دو ماتريس دلخواه هم مرتبه باشند، داريم    A+B=B+A

اثبات:

تعريف ماتريس ها: فرض كنيد A و B دو ماتريس هم مرتبه باشند، A-B به صورت زير تعريف مي شود

A-B=A+(-B)

از تعريف فوق نتيجه مي گيريم براي اينكه با ماشين جمع، A-B را به دست آوريم، نخست ماشيني با يك ورودي و يك خروجي مي سازيم تا هر ماتريسي به آن دهيم آن ماتريس را قرينه كند. حال با دادن ماتريس B به اين ماشين، -B از آن خارج مي شود.

سپس، A و –B را به ماشين جمع مي دهيم تا A+(-B) يعني A-B را بيرون دهد.

مقايسه خواص جمع ماتريس ها با خواص جمع اعداد حقيقي:

اگر به خواص ماتريس ها توجه كنيم ملاحظه مي كنيم كه اين خواص همانند خواص جمع اعداد حقيقي است، حال مي خواهيم ببينيم كداميكي از خواص ديگر مجموعه اعداد حقيقي با عمل جمع در مجموعة ماتريس ها با عمل جمع برقرار است. مي دانيم براي حل معادله a+x=b در مجموعه اعداد حقيقي بايد به طريقي a را از طرف اول معادله حذف كرد. بنابراين، طرفين معادله را با –a جمع مي كنيم، در اينصورت:

(-a)+ (a+x)=-a+b

با استفاده از خاصيت جابجايي و شركت پذيري جمع داريم:

(-a+a) +x=b-a)

در نتيجه +x=b-a0 يعني x=b-a0 اين شيوه را مي توان براي حل معادله A+X=B در مجموعه ي ماتريس ها نيز به كار برد و گزاره زير را به دست آورد.

گزاره: اگر A و B دو ماتريس هم مرتبه باشند، در اين صورت معادله A+X=B داراي جواب منحصر به فرد X=A-B است.

يكي ديگر از خواص مجموعه اعداد حقيق با عمل جمع، قانون حذف است. يعني اگر a+x=a+y در اين صورت مي توان نتيجه گرفت x=y اين خاصيت نيز در مورد ماتريس ها با عمل جمع وجود دارد.

قانون حذف در جمع ماتريس ها برقرار است

اثبات: روش اول، فرض كنيد A و B و C سه ماتريس هم مرتبه باشند، نشان مي دهيم

A+B=A+Cà B=C

طرفين تساوي A+B=A+C را با –A جمع مي كنيم با توجه با خاصيت شركت پذيري و خاصيت ماتريس صفر نتيجه مي شود B=C

روش دوم: چون A+B=A+C پس

درايه iام ستون jام =A+C درايه سطر iام ستون jام A+B

تذكر: براي اثبات قانون حرف دو روش مختلف ارائه داديم. در روش اول، از خواص جمع ماتريسها يعني شركت پذيري، عضو بي اثر و… استفاده كرديم، يعني همان روشي كه براي اعداد حقيقي مي توان به كار برد. اما در روش دوم ويژگي هاي ماتريس نقش اصلي را ايفا مي كند. در واقع در مورد روش اول براي ما مهم نيست A و B و C ماتريس هستند يا عدد حقيقي و يا هر چيز ديگر، در مورد هر دسته اي از اشيا كه داراي خواص جمع ماتريس ها باشند، مي توانيم اين شيوه را به كار ببريم و اين همان رسالت جبر مدرن است كه با اصل موضوعي كردن، قضاياي مشابه را به يكباره ثابت مي كند. زيرا شيوه و روش اثبات قضيه در هر جايي كه اين اصول صدق مي كنند، معتبر است.

ضرب يك عدد (اسكالر) در ماتريس

تعريف: فرض كنيد   ماتريسي از مرتبه m*n و r يك عدد حقيقي باشد. از ضرب عدد حقيقي r در A ماتريسي به دست مي آيد كه آن را به صورت rA نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي شود.

بنابراين (درايه سطر iام ستون jام ماتريس =r.(A درايه سطر iام ستون j ام ماتريس (rA)

مثال: اگر      در اين صورت

خواص ضرب عدد در ماتريس:

1)فرض كنيد r و s دو عدد حقيقي و A يك ماتريس m*n باشد در اين صورت داريم

r(sA)=(rs)A

2)اگر r و s دو عدد حقيقي و A يك ماتريس m*n باشد در اين صورت داريم

(r+s)A=rA+sA

3)اگر r يك عدد حقيقي و A و B دو ماتريس m*nباشند در اين صورت

r(A+B)=rA+rB

4)اگر r يك عدد حقيقي ناصفر و A وB دو ماتريس دلخواه m*n باشند در اين صورت

rA=rBà A=B

ضرب ماتريس ها و خواص آن

ضرب ماتريس سطري در ماتريس ستوني

تعريف: ماتريس سطري              و ماتريس ستوني

را در نظر مي گيريم حاصل ضرب A در B به صورت زير تعريف مي شود.

با توجه به تعريف فوق حاصل ضرب يك ماتريس سطري در ماتريس ستوني يك عدد حقيقي است كه براي به دست آوردن آن به صورت زير عمل مي كنيم.

مثال:

ضرب ماتريس ها در حالت كلي:

تعريف: اگر             و        دو ماتريس مخصوص باشند در اين صورت حاصل ضرب AB ماتريسي است m*p كه اگر آن را با C نشان دهيم داريم

ملاحظاتي در مورد ضرب دو ماتريس

1-ضرب ماتريسي AB در صورتي تعريف شده است كه تعداد ستون هاي ماتريس اولي، يعني A با تعداد سطرهاي ماتريس دومي، يعني B، برابر باشد. در اين صورت گويند ماتريس A در ماتريس B قابل ضرب است.

2-اگر AB=C براي به دست آوردن هر يك از درايه هاي ماتريس C به نمحلي كه درايه واقع است توجه مي كنيم. مثلاً براي بدست آوردن ₁₂C سطر اول A را در ستون دوم B، طبق ضرب يك ماتريس سطري در ماتريس ستوني ضرب مي كنيم، و به همين ترتيب

ستون پنجم ماتريس B× سطر سوم ماتريس A = ₃₅C

اگر ₁R و ₂R و ₃R به ترتيب نمايشگر سطر اول و سطر دوم و سوم ماتريس _2×3A و ₁C و ₂C و ₃C نمايشگر ستون اول ، دوم و سوم ماتريس _3×2B باشند. در اين صورت AB ماتريسي 2×2 به صورت زير است.

كه در آن، براي مثال، ₂C₁R حاصل ضرب سطر اول A در ستون دوم B را نشان مي دهد.

ماتريس واحد (هماني)

ماتريس واحد، ماتريس مربعي است كه تمام درايه هاي قطر اصلي آن 1 و ساير درايه هاي صفر است.براي مثال ماتريس واحد 2×2 كه با نماد ₂I نمايش مي دهيم به عبارت است از

به همين ترتيب ماتريس واحد 3×3 عبارت است از

تذكر: ماتريس I را از اينرو، واحد گويند كه رفتاري شبيه عدد 1 در ضرب اعداد دارد و چون روي هر ماتريسي (قابل ضرب با آن) اثر كند همان ماتريس را مي دهد بنابراين آن را ماتريس هماني نيز مي گويند.

گزاره: اگر در ماتريس A سطر دوم صفر باشد و B ماتريسي باشد كه AB تعريف شده باشد، در اين صورت سطر دوم AB نيز صفر است.

اثبات: قرار مي دهيم AB=C درايه هاي سطر دوم AB از ضرب سطر دوم A در ستون هاي B به دست مي آيد. فرض كنيد C_ijدرايه دلخواهي از سطر دوم AB باشد، بنابراين

به طور كلي، اگر در ماتريس A سطر iام صفر باشد در اين صورت سطر I ام ماتريس AB صفر است. به طريق مشابه مي توان ثابت كرد.

گزاره: اگر در ماتريس B ستون jام صفر باشد و A ماتريسي باشد كه AB تعريف شده باشد، در اين صورت ستون jام ماتريس AB صفر است.

بررسي خاصيت جابه جايي در ضرب ماتريسها:

دو ماتريس A و B مفروضند. AB وقتي تعريف شده است كه تعداد ستونهاي A با تعداد سطرهاي B مساوي باشد. مثلاً داشته باشيم   و        اگر m و p مساوي نباشد، BA تعريف نشده است. براي اينكه BA تعريف شده باشد لازم است كه p=m، يعني B ماتريس n*m باشد. در اينصورت AB از مرتبه m*m و BA ماتريسي است از مرتبه n*m. حال اگر بخواهيم AB و BA هر دو موجود و هم مرتبه باشند مي بايست A و B هر دو ماتريس هاي مربع و هم مرتبه باشند. اما در اين حالت نيز ممكن است BA و AB مساوي نباشد. به مثال زير توجه كنيد.

مثال: اگر                          در اينصورت

ملاحظه مي شود كه AB و BA مساوي نيستند. مثال فوق بيانگر آن است كه ضرب ماتريس ها داراي خاصيت جابه جايي نيست. حال به مثال زير توجه كنيد.

مثال: اگر                در اين صورت

يعني AB=BA

ماتريس هاي تعويض پذير:

تعريف: اگر A و B دو ماتريس مربع باشند به طوري كه AB=BA در اين صورت A و B را تعويض پذير گوييم و يا گوييم A و B با يكديگر جابجا مي شوند.

مثال: دو ماتريس     و        تعويض پذيرند. زيرا

يك خاصيت غير منتظره در ماتريسها:

مي دانيم كه مجموعه اعداد حقيقي داراي اين خاصيت است كه : «حاصلضرب دو عدد حقيقي ناصفر، عددي حقيقي ناصفر است.»

اما در مورد ماتريسها چنين نيست. به مثال زير توجه كنيد. دو ماتريس غير صفر را در نظر بگيريد. داريم:

ملاحظه مي شود كه ماتريس هايي مانند A و B وجود دارند به طوري كه    و        ولي اين نوع ماتريس ها را مقسوم عليه صفر مي گويند.

تعريف: فرض كنيد A يك ماتريس مربع باشد. اگر ماتريس ناصفري مانند B بتوان يافت به طوري           يا در اين صورت A را مقسوم عليه صفر گويند.

مثال: ماتريس         مقسوم عليه صفر است زيرا

توانهاي طبيعي يك ماتريس مربع:

فرض كنيد A يك ماتريس m*n باشد. براي آنكه AA وجود داشته باشد مي بايست m=n ، يعني در صورتي AA تعريف شده است كه A ماتريسي مربع باشد. در اين صورت AA را با ²A نمايش مي دهند.

تعريف: اگر A يك ماتريس مربع باشد، در اين صورت توان هاي طبيعي A به صورت زير تعريف مي شوند

=A¹A و =AA²A و ²=AA³A وبا استقرا

Aⁿ⁺¹ = AAⁿ

در صورتي كه A يك ماتريس مربع مرتبه n باشد توان صفر A نيز به صورت زير تعريف مي وشد.

كه در آن I_n ماتريس واحد مرتبه n است.

ماتريس هاي بالا مثلثي

ماتريس مربعي       را بال مثلثي مي نامند هرگاه

A_ij     I>j     à a_ij=0

يعني، در يك ماتريس بالا مثلثي كليه درايه هاي واقع در پايين قطر اصلي صفرند. براي مثال يك ماتريس بالا مثلثي 3×3 در حالت كلي به صورت زير است

اين ماتريس ها را به صورت زير نشان مي دهند

همانطور كه از نامگذاري اين نوع ماتريس ها معلوم است، در هر ماتريس بالا مثلثي، درايه هاي واقع بر قطر اصلي و بالاي قطر اولي مشخص كننده ماتريس هستند. زيرا تمام درايه هاي پايين قطر اصلي صفرند.

مثال: ماتريس مربع و صفر ماتريس واحد، بالا مثلث اند.

ماتريس هاي پايين مثلثي

ماتريس مربع A=[a_ij] را پايين مثلثي نامند هرگاه

يعني،  در يك ماتريس پايين مثلثي، همه درايه هاي واقع در بالاي قطر اصلي، صفرند.

مثال: ماتريس روبه رو يك ماتريس

پايين مثلثي 3×3 است. گاهي براي سهولت اين ماتريس را به صورت زير هم نشان مي دهند.

نماد O در بالاي قطر اصلي به معناي آن است كه تمام درايه هاي بالاي قطر اصلي صفرند. نامگذاري اين نوع ماتريس ها همانند قبل، بر اين اساس استوار است كه در ماتريس هاي پايين مثلثي درايه هاي واقع بر قطر اصلي ، مشخص كننده ماتريس هتسند.

مثال: ماتريس مربع صفر و ماتريس واحد پايين مثلثي نيز هستند.

ماتريس هاي قطري:

ماتريع مربع D=[d_ij] را قطري مي نامند، هر گاه هم بالا مثلثي و هم پايين مثلثي باشد، يعني در يك ماتريس قطري، درايه هاي پايين و بالاي قطر اصلي همگي صفرند، به عبارت ديگر، D قري است هرگاه

بنابراين، ماتريس قطري D به صورت زير نوشته مي شود.

براي سهولت اين ماتريس را به صورت زير هم نشان مي دهند.

همانطور كه از نام اين نوع ماتريس ها بر مي آيد، در يك ماتريس قطري فقط درايه هاي واقع بر قطر اصلي مشخص كننده ماتريس اند، براي همين ماتريس قطري را به صورت

d_iaj(d₁₁ , d₁₂ , d_nn)

نيز نشان مي دهند.

مثال: ماتريس         قطري است كه به صورت(2- و 3 و2) D=diag  نيز مي توانيم آن را بنويسيم.

ماتريس واحد (هماني)

ماتريس واحد، ماتريس اسكالري (آن دسته از ماتريس هاي قطري را كه همه درايه هاي واقع بر قطر اصلي آنها مساويند، ماتريس اسكالر نامند) است كه درايه هاي واقع بر قطر اصلي آن همگي مساوي 1 است. ماتريس واحد مرتبه n را با I_n نشان مي دهند.

مثال: ماتريس واحد 3×3 عبارت است از

وقتي مرتبه ماتريس واحد معلوم باشد و يا اهميت نداشته باشد، ماتريس واحد را با I نشان مي دهند و براي هر ماتريس مرتبه n مانند A داريم                 I_nA=AI_n=A

يعني، ماتريس واحد، عضو بي اثر مجموعه ماتريس هاي مربع نسبت به عمل ضرب است. براي همينن ماتريس واحد رفتاري شبيه عدد يك در ضرب اعداد دارد.

و به سادگي ديده مي شود كه براي هر عدد طبيعي K داريم:            I^K=I

مثال: هر ماتريس اسكالر مضربي از ماتريس واحد است. يعني؛

ماتريس هاي خود توان

ماتريس مربع A را خودتوان مي نامند هرگاه =A²A

مثال: ماتريس        خودتوان است زيرا؛

گزاره: اگر A خودتوان باشد، در اين صورت براي هر عدد طبيعي n، داريم:

Aⁿ=A

ماتريس هاي پوچ توان:

ماتريس مربع A را پوچ توان نامند هرگاه به ازاي يك عدد طبيعي، مانند n، داشته باشيم

بديهي است كه اگر   به ازاي هر عدد طبيعي بزرگتر از n مانند m داريم

كوچكترين اين n ها را انديس پوچ تواني A گويند.

زيرماتريس ها وافراز كردن

يك زير ماتريس يك ماتريس مفروض A ماتريسي است كه از حذف تعدادي از سطرها يا ستون هاي ماتريس A بدست آمده باشد، براي مثال اگر

در اين صورت هر يك از ماتريسهاي زير يك زير ماتريس A مي باشند.

زير ماتريس           از حذف سطرهاي اول و دوم و ستونهاي اول و سوم، و زير ماتريس ]4   3  2 [ از حذف سطرهاي دوم و سوم و چهارم و ستون اول به دست مي آيند.

هرگاه با ترسيم خطوط افقي و عمودي بين سطرها و ستونهاي يك ماتريس آن را تقسيم بندي كنيم، گوييم ماتريس را افراز كرده ايم. با تغيير اين خطوط افرازهاي متفاوتي از يك ماتريس ساخته مي شود. مثلاً

دو افراز مختلف از ماتريس A مي باشند.

وقتي ماتريس ها از ظرفيت حافظه كامپيوتر بزرگترند، از ماتريس هاي افراز شده استفاده فراوان مي كنند. مثلاً در ضرب دو ماتريس افراز شده، مي توان ماتريس ها را روي ديسك نگه داشت. و فقط زير ماتريس هايي را كه در تشكيل حاصل ضربهاي زير ماتريسي لازمند در حافظه آورد. معلوم است كه افراز بايد به قسمي صورت گيرد كه حاصل ضرب ماتريسهاي نظير قابل تعريف باشد.

فرض كنيد A و B ماتريسيهايي باشند كه AB تعريف شده باشد حال اگر A و B را به صورت

افزار كرده باشيم در اين صورت به آساني ثابت مي شودكه براي محاسبه ماتريس AB مي توان C و D و… را شبيه درايه ها تصور كرد و عمل ضرب را انجام داد، بنابراين

البته، اين مشروط به آن است كه افراز به گونه اي باشد كه حاصل ضرب هاي فوق تعريف شده باشد.

ترانهاده يك ماتريس

تعريف: فرض كنيد A يك ماتريس m*n باشد، ترانهاده A، ماتريسي است n*m كه سطر اول آن ماتريس A سطر دوم آن ستون دوم A و… به طور كلي، سطر iام ترانهاده A ستون iام ماتريس A مي باشد. ترانهاده A را با نمادها َA و A^t يا ^tA نمايش مي دهند.

مثال: فرض كنيد

در اين صورت ترانهاده A، يعني َA عبارت است از

ملاحظه مي شود كه درايه سطر اول ستون دوم ماتريس A مساوي 5 است، يعني 5=₁₂a از طرف ديگر اگر درايه هاي َA را با _ijَa نشان دهيم درايه سطر دوم ستون اول َA نيز مساوي 5 است.

يعني5=₁₂a بنابراين           ₁₂a= ₂₁َa

به طريق مشابه                 ₁₃a= ₃₁َa                 ₃₂a= ₂₃َa

در واقع اگر   در اين صورت ترانهاده A عبارت است از         كه در آن

a_ij=a_ij

بنابراين درايه سطر jام ستون iتك A= درايه سطر iام ستون jام َA

مثال: ترانهاده يك ماتريس بالا مثلثي ، يك ماتريس پايين مثلثي است و بر عكس.

مثال: ترانهاده ماتريس واحد مرتبه n خود ماتريس واحد مرتبه n است، يعني I=َI

ويژگي هاي ترانهاده

قضيه: اگر A يك ماتريس m*n باشد در اين صورت A=َ(َ(A

قضيه: اگر A و B دو ماتريس m*n باشند، در اين صورت َB +َA = َ((A+B

قضيه: اگر A يك ماتريس m*n و يك عدد حقيقي باشد، در اين صورت

ماتريس متقارن

تعريف: ماتريس مربع A را متقارن مي نامند، هرگاه A=َA

مثال: ماتريس         متقارن است

زيرا

از تساوي A=َA نتجيه مي شود             a_ij=_ijَa

و در نتيجه              a_ij=a_ji

 بنابراين در ماتريس هاي متقارن درايه هايي كه موضع آنها نسبت به قطر اصلي قرينه اند با هم مساويند.

مثال: هر ماتريس قطري متقارن استن در نتيجه ماتريسهاي اسكالر و ماتريس واحد و ماتريس صفر متقارن هستند.

قضيه: اگر A و B دو ماتريس متقارن هم مرتبه باشند، در اين صورت A+B نيز متقارن است.

اثبات: چون A و B متقارن است پس A=َA  و B=َB بنابراين

َB+َA = َ((A+B

قضيه: اگر A متقارن و يك عدد حقيقي باشد، در اين صورت نيز متقارن است

اثبات:

قضيه: اگر A و B  دو ماتريس متقارن و تعويض پذير باشند، در اين صورت AB نيز متقارن است.

اثبات:

دتريمنال يك ماتريس:

به هر ماتريس مربع، عددي نسبت داده مي شود كه دترمينال آن ماتريس ناميده مي شود. دترمينان يك ماتريس مانند مشتق يك تابع، اطلاعاتي در مورد آن ماتريس در اختيار مي گذارد. براي مثال با استفاده از دترمينان مي توان دريافت كه يك ماتريس وارون دارد يا خير؟ و اينكه در حل دستگاههاي n  معادله n مجهولي مي توان از دترمينان استفاده كرد.

دترمينان ماتريس هاي 1×1

فرض كنيد    يك ماتريس  باشد، دترمينان اين ماتريس كه با نماد det[a] نشان داده مي شود عبارت است از                  det[a]=a

دترمينان ماتريسهاي 2×2

ماتريس        را در نظر مي گيريم دترمينان A كه با هر يك از نمادهاي نشان مي دهند، به صورت زير تعريف مي شود.

مثال:

براي تعريف دترمينان يك ماتريس n*n لازم است قبل از آن مفاهيم كهاد و همسازه را بدانيم.

كهاد (مينور)

تعريف: فرض كنيد A=[a_ij] ماتريسي n*n باشد. ماتريسي را كه از حذف سطر iام ستون jام ماتريس A بدست مي آيد با M_ij نشان مي دهيم. دترمينان M_ij يعني را كهاد يا مينور a_ij مي نامند.

تعريف: فرض كنيد A=[a_ij] ماتريسي n*n باشد، همسازه      از زاويه a_ij به صورت زير تعريف مي شود.

تذكر: ^i+j(1-) در هر حالت مقادير 1 يا 1- را مي گيرد، در واقع

مثال: فرض كنيد

در اين صورت ماتريس حاصل از حذف سطر اول ستون دوم =A ₁₂M

تعريف دتريمنان ماتريس هاي n*n

تعريف: فرض كنيد A[a_ij] ماتريسي n*n باشد (n>2) در اين صورت دترمينان A به صورت زير تعريف مي شود.

با كمي دقت در فرمول بالا مشاهده مي شودكه در محاسبه دترمينان A فقط از درايه هاي سطر اول و كهاد آنها استفاده شده است. اين فرمول را در مورد هر سطر دلخواه ديگر هم مي توانيم بنويسيم. مثلاً فرمول بالا براي سطر iام به شكل زير است

ثابت مي شود كه مقدار بالا بستگي به iندارد و همان مقدار به دست مي آيد. فرمول بالا را بسط دترمينان نسبت به سطر iام مي نامند  و در محاسبه دترمينان نسبت به هر سطري كه بسط داده شود، حاصل همواره يكي است.

همچنين در فرمول بسط دترمينان به جاي استفاده از سطرهاي ماتريس مي توانيم از ستون هاي ماتريس استفاده كنيم و به فرمول زير كه بسط دترمينان نسبت به ستون jام نام دارد، برسيم.

در اين مورد نيز ثابت مي شودكه مقدار بالا بستگي به j ندارد و همان است.

مثال: مطلوب است محاسبه دترمينان A كه A به صورت زير است.

حل: دترمينان را نسبت به سطر اول بسط مي دهيم.

وارون يك ماتريس

براي حل معادلات به صورت ax=b در مجموعه اعداد حقيقي، بايد كاري كرد كه ضريب x برابر 1 شود. براي اين كار بايد طرفين را در وارون a يعني     ضرب كرد در نتيجه

البته، روشن است كه اين معادله را وقتي مي توان به اين صورت حل كرد كه نظير اين معادلات در ماتريس ها نيز مطرح است، يعني معادلات به صورت AX=C

كه در آن A و C ماتريسهاي مربع هستند، همانند اعداد راحت ترين كار براي حل اين نوع معادلات از ميان برداشتن A است، بعبارت ديگر طرفين معادله را مي بايست از سمت چپ در ماتريسي ضرب كنيم كه A را خنثي كند. منظور از خنثي كردن A آن است كه ماتريسي مانند B بدست آوريم به طوري كه BA=I در اين صورت B را وارون A و يا به عبارت دقيقتر وارون چپ A گويند.

تعريف: فرض كنيد A ماتريس n*n باشد. اگر ماتريسي مانند B وجود داشته باشد، به طوري كه در آن I ماتريس واحد مرتبه n است، ماتريس B را يك وارون A گويند. در اين صورت مي گويند A وارون پذير يا غير منفرد (ناتكين) است

مثال: نشان دهيد ماتريس وارون پذير است.

حل: با توجه به تعريف بايد ماتريسي 2×2 مانند B ارائه دهيم به طوري كه

AB=BA=I

براي اين كار فرض كنيد

بنابراين

از حل دستگاه فوق نتيجه مي شود كه

بنابراين

به سادگي مي توان ديد كه

بنابراين ماتريس     وارون است در نتيجه A وارون پذير است.

قضيه: وارون يك ماتريس در صورت وجود منحصر به فرد است.

اثبات: فرض كنيد A داراي دو وارون َA و ًA باشد، نشان مي دهيمَA = ًA

I ماتريس واحد است                   َIA=ًA

ًAA)َ=(A

(ً(AAَA=

IَA=

َA

قرارداد: اگر A يك ماتريس مربع وارون پذير باشد، در اين صورت وارون A را با ^1- A نشان مي دهند. بنابراين

A=I^1-A= ^1-AA

قضيه: فرض كنيد

و در اين صورت A وارون پذير است و

اثبات: در معادله صدق مي كند

يعني

پس A وارون پذير است، و همچنين

 

لینک دانلود اصل فایل